Question

4．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr²，则S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr²，三维测度（体积）V=$\frac{4}{3}$πr³，则V′=S．已知四维空间中“超球”的三维测度V=8πr³，猜想其四维测度W=2πr⁴．

Answer 1

分析 根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．

解答 解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr²，观察发现S′=l
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr²，三维测度（体积）V=$\frac{4}{3}$πr³，观察发现V′=S
∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr³，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr³；
∴W=2πr⁴．
故答案为：2πr⁴

点评 本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，属于基础题．