题目内容
【题目】如图所示,矩形和矩形
所在平面互相垂直,
与平面
及平面
所成的角分别为
,
,
、
分别为
、
的中点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求线段的长;
(3)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)由面面垂直的性质定理易得面
;由中位线定理可得
,所以有
面
;(2)利用直角三角形中的边角关系求得
,在
中,由勾股定理求得的
长;(3)过
作
于
点,过
作
于
,连
,由三垂线定理可证
为所求二面角的平面角,用面积法求出
和
,由
求得二面角
的平面角的正弦值.
试题解析:(1)证明:因为面面
,面
面
,
,所以
面
.
因为,
分别为
,
的中点,所以
,故
面
.………………(4分)
(2)由(1)可知为
与面
所成角,
,
在直角三角形中,
,
,所以
.
又面面
,面
面
,
,所以
面
.
所以为
与面
所成角,
,
因此,在直角三角形中,.
在直角三角形中,.………………(8分)
(3)如图,过作
于点
,过
作
于点
,连接
.
因为面
,
面
,
所以.
又,
,所以
面
,
面
,故
,
又,
,所以
面
.
面
,故
,又
,
因此为所求二面角的平面角.
在直角三角形中,由面积相等有
,得
在直角三角形中,同理可得
.
.………………(12分)

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