Question

【题目】 设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求、；

（2）证明.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.

试题解析：（1）函数的定义域为，

.

由题意可得，.故，.

（2）证明：由（1）知，，

从而等价于.

设函数，则.

所以当，；

当时，.

故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.

设函数，则.

所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.

综上，当时，，即.