Question

14．设等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项．数列{b_n}的前n项和S_n=n²，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式λb_n≤S_n+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）若c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{b}_{n}+1），n为偶数，n∈{N}^{*}}\\{\sqrt{{a}_{n}}，n为偶数，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$从数列{c_n}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．

Answer 1

分析 （1）通过2×3a₃=8a₁+a₅，进而计算即得结论；
（2）通过S_n=n²可知b₁=S₁=1，b_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2），进而已知条件转化为λ≤$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$对一切n∈N*恒成立，利用基本不等式计算即得结论；
（3）通过（1）、（2）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，}&{n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，易知取出的数列中相邻的项必定一个是奇数、一个是偶数，进而讨论即得结论．

解答 解：（1）由题意得，2×3a₃=8a₁+a₅，
则6q²=8+q⁴，…（2分）
解得q²=4或q²=2．
因为q为正整数，则q=2．                            …（3分）
又a₁=2，则a_n=2ⁿ，即数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．     …（4分）
（2）当n=1时，b₁=S₁=1；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时也符合，故b_n=2n-1．                         …（6分）
不等式λb_n≤S_n+6对一切n∈N*恒成立，转化为λ≤$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$对一切n∈N*恒成立．
记T=$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$，令2n-1=t（t＞0），则n=$\frac{t+1}{2}$，
T=$\frac{（\frac{t+1}{2}）^{2}+6}{t}$=$\frac{1}{4}$（t+$\frac{25}{t}$+2）≥$\frac{1}{4}$（2$\sqrt{t•\frac{25}{t}}$+2）=$\frac{1}{4}$（2×5+2）=3，…（8分）
当且仅当t=$\frac{25}{t}$，即t=5，n=3时等号成立，
故λ≤3，即实数λ的取值范围是（-∞，3]．                   …（10分）
（3）由（1），（2）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，}&{n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N*，s≥2，k≥2．
因为数列{c_n}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，
因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，
则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．…（12分）
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．
设抽出的三个偶数从小到大依次为2ⁱ，2^j，2^p（1≤i＜j＜p），
则$\frac{2i+2j}{2}$=2^i-1+2^j-1为奇数，而i≥1，j≥2，则2^j-1为偶数，2^i-1为奇数，所以i=1．
又$\frac{2j+2p}{2}$=2^j-1+2^p-1为奇数，而j≥2，p≥3，则2^j-1与2^p-1均为偶数，矛盾．
又因为k≥2，所以k=2，即偶数只有两项，
则奇数最多有3项，即s+k的最大值为5．                …（14分）
设此等差数列为d₁，d₂，d₃，d₄，d₅，则d₁，d₃，d₅为奇数，d₂，d₄为偶数，且d₂=2．
由d₁+d₃=2d₂=4，得d₁=1，d₃=3，此数列为1，2，3，4，5．
同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．
综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．…（16分）

点评 本题考查数列的应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．