Question

【题目】大学的生活丰富多彩，很多学生除了学习本专业的必修课外，还会选择一些选修课来充实自已.甲同学调查了自己班上的名同学学习选修课的情况，并作出如下表格：

每人选择选修课科数
频数

（1）求甲同学班上人均学习选修课科数：

（2）甲同学和乙同学的某门选修课是在同一个班，且该门选修课开始上课的时间是早上，已知甲同学每次上课都会在到之间的任意时刻到达教室，乙同学每次上课都会在到之间的任意时刻到达教室，求连续天内，甲同学比乙同学早到教室的天数的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）甲同学的班上平均每人学习选修课科数是（2）详见解析

【解析】

（1）将所有的每人选择选修课科数和对应频数相乘之后再求和，即得总的科目数，再除以总人数，即为人均学习选修课科数；

（2）将甲和乙到达教室的时间视为，，可得甲，乙到达教室的时间在平面直角坐标系中构成的区域，然后找到甲比乙早到教室的时间在平面直角坐标系中构成的区域，利用几何概型的公式可求出甲比乙早到教室的概率，然后分别求出甲比乙早到教室的天数为，，，时的概率，进而可求出天数的分布列和数学期望.

解：（1）设甲同学班上人均学习选修课科数为，根据表格可得

，

即甲同学的班上平均每人学习选修课科数是.

（2）设甲同学和乙同学到达教室的时间分别为，，可以看成平面中的点，

则全部结果所构成的区域为，

所以.

用B表示事件“甲同学比乙同学早到教室”，该事件所构成的平面区域为

，

所以，

故.

将连续天内甲同学比乙同学早到教室的天数记为，则可能的取值为，，，，

，，

，，

故的分布列为

所以，.