题目内容
【题目】已知椭圆
： 
（
）的左右焦点分别为
， 
，短轴两个端点为
， 
，且四边形
是边长为
的正方形。
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知圆的方程是
，过圆上任一点
作椭圆
的两条切线
， 
，求证： 
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】试题分析：（1）由题意可知： 
， 
， 
，所以
，从而可得椭圆的方程；
（2）设
，若过点
的切线斜率都存在，设其方程为
，与椭圆方程联立可得： 
，由相切可知： 
，即
，结合维达定理可得： 
，再利用点在椭圆上，易得
，从而得证.
试题解析：
解：（1）
， 
， 
，所以
所以椭圆
的方程为
（2）设
，若过点
的切线斜率都存在，设其方程为
有
得
因为直线与椭圆相切，所以
整理得
设椭圆
的两条切线的斜率分别为
， 
，由韦达定理， 
因为点
在圆
上，所以
，即
所以
，所以
特别的，若过点
的的切线有一条斜率不存在，不妨设为
，则该直线的方程为
，则
的方程为
，所以
综上所述，对于任意满足题设的点
，都有
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