Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=33n-n²
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）问{a_n}的前多少项和最大；
（3）设数列{b_n}的每一项都有b_n =|a_n|，求数列{b_n}的前n项和S′_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，验证当n=1时，也满足，于是可求得{a_n}的通项公式为a_n=34-2n，利用等差数列的定义证明即可；
（2）令a_n≥0可求得n≤17，从而可得答案．
（3）分类讨论去掉绝对值，利用等差数列求和公式求得即可．

解答 （1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，又当n=1时，a₁=S₁=32=34-2×1满足a_n=34-2n，
故{a_n}的通项公式为a_n=34-2n，
所以a_n+1-a_n=34-2（n+1）-（34-2n）=-2，
故数列{a_n}是以32为首项，-2为公差的等差数列；
（2）解：令a_n≥0得：34-2n≥0，所以n≤17，
故数列{a_n}的前16项或前17项和最大，
此时S₁₇=33×17-17²=272．
（3）解：当n≤17时，${s}_{n}^{′}$=a₁+a₂+…+a_n=32n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=33n-n²，
当n≥18时，${s}_{n}^{′}$=a₁+a₂+…+a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n=2s₁₇-s_n=2（33×17-17²）-（33n-n²）=n²-33n+544，
∴${s}_{n}^{′}$=$\left\{\begin{array}{l}{33n-{n}^{2}}&{n≤17}\\{{n}^{2}-33n+544}&{n≥18}\end{array}\right.$

点评 本题考查等差数列的关系的确定及通项公式的应用，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．