给出以下五个结论:①若等比数列{an}满足a1=2.且S3=6.则公比q=-2,②数列{an}的通项公式an=ncos$\frac{nπ}{2}$+1.前n项和为Sn.则S13=19．③若数列an=n2+λn(n∈N+)为单调递增数列.则λ取值范围是λ＞-2,④已知数列{an}的通项an=$\frac{3}{2n-11}$.其前n项和为Sn.则使Sn＞0的n的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．给出以下五个结论：
①若等比数列{a_n}满足a₁=2，且S₃=6，则公比q=-2；
②数列{a_n}的通项公式a_n=ncos$\frac{nπ}{2}$+1，前n项和为S_n，则S₁₃=19．
③若数列a_n=n²+λn（n∈N₊）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＞-2；
④已知数列{a_n}的通项a_n=$\frac{3}{2n-11}$，其前n项和为S_n，则使S_n＞0的n的最小值为12．
⑤1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$（n≥2）
其中正确结论的序号为②⑤（写出所有正确的序号）．

分析 ①对q分类讨论：q=1，q≠1，即可判断出；
②数列{a_n}的通项公式a_n=ncos$\frac{nπ}{2}$+1，则a₁=1，a₂=-1，a₃=1，a₄=5，…，n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=1；n=4k时，a_n=4k+1；n=4k-2时，a_n=3-4k．计算出，即可判断出正误；
③由a_n+1＞a_n，解得λ＞-（2n+1），即可判断出；
④由数列{a_n}的通项a_n=$\frac{3}{2n-11}$，a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂=-$\frac{3}{7}$，a₃=-$\frac{3}{5}$，…，a₉=$\frac{3}{7}$，a₁₀=$\frac{1}{3}$，a₁₁=$\frac{3}{11}$，而S₁₀=0，当n≥11时，S_n＞0，因此使得S_n＞0的n的最小值为11，即可判断出正误
⑤n≥2，$\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答解：①若等比数列{a_n}满足a₁=2，且S₃=6，则q=1时满足条件，q≠1，由2（1+q+q²）=6，解得q=-2，因此不正确；
②数列{a_n}的通项公式a_n=ncos$\frac{nπ}{2}$+1，则a₁=1，a₂=-1，a₃=1，a₄=5，…，∴n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=1；n=4k时，a_n=4k+1；n=4k-2时，a_n=3-4k．则S₁₃=（a₁+a₃+…+a₁₃）+（a₂+a₆+a₁₀）+（a₄+a₈+a₁₂）=7+（-1-5-9）+（5+9+13）=19，正确．
③若数列a_n=n²+λn（n∈N₊）为单调递增数列，∴a_n+1＞a_n，解得λ＞-（2n+1），因此λ＞-3，故不正确；
④由数列{a_n}的通项a_n=$\frac{3}{2n-11}$，a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂=-$\frac{3}{7}$，a₃=-$\frac{3}{5}$，a₄=-1，a₅=-3，a₆=3，a₇=1，a₈=$\frac{3}{5}$，a₉=$\frac{3}{7}$，a₁₀=$\frac{1}{3}$，a₁₁=$\frac{3}{11}$，而S₁₀=0，当n≥11时，S_n＞0，因此使得S_n＞0的n的最小值为11，故不正确．
⑤∵n≥2，$\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$（n≥2），因此正确．
综上可得：只有②⑤正确．
故答案为：②⑤．