Question

3．已知函数f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值，并求相应的x．
（2）若α∈（$\frac{π}{2}$，π），且f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求α

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），由周期公式可得周期T，可得最大值和相应的x；
（2）由已知易得4α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合α的范围可得α的值．

解答 解：（1）化简可得f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x
=cos2xsin2x+$\frac{1}{2}$cos4x=$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{1}{2}$cos4x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由4x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z
∴相应的x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z；
（2）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（4α+$\frac{π}{4}$）=1，∴4α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴α=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z
∴当k=1时，α=$\frac{9π}{16}$符合题意．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．