题目内容
【题目】如图，直三棱柱
的所有棱长相等，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）当
是
的中点时，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）设三棱柱的棱长为2，
为
的中点，连结
，易证
平面
，取
的中点
，连结
，易知直线
两两垂直，故以为坐标原点，分别以射线
的方向为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，从而可证明
，
，进而可证明
平面
；
（2）结合（1），分别求出平面
、平面
的法向量，然后利用空间向量法求出二面角
的余弦值，进而可求出答案.
（1）设三棱柱的棱长为2，为的中点，连结，易知
，又平面
平面，所以平面，取的中点，连结，易知直线两两垂直，故以为坐标原点，分别以射线的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
因为
，
，所以，，即
，
，又
，所以平面.
（2）由（1）知，
，
，
，
则
，
，设平面的法向量为
，
则
，即
，令
，可得
，
，可得平面的一个法向量
，
平面的一个法向量为
，
设二面角的大小为
，则
，
则
.
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