题目内容
【题目】已知函数,
(
为自然对数的底)。
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若存在均属于区间的
,
,且
,使
,证明:
;
(Ⅲ)对于函数与
定义域内的任意实数
,若存在常数
,
,使得
和
都成立,则称直线
为函数
与
的分界线。试探究当
时,函数
与
是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出
,
的值;若不存在,请说明理由。
【答案】(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式,然后分类讨论确定函数的单调性即可;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论首先确定的范围,然后结合函数的解析式和函数的单调性即可证得题中的不等式;
(Ⅲ)首先求得函数的最小值,然后结合题意猜出k,e的值并进行证明即可.
(Ⅰ)函数的定义域为
,
且
当时,
,则函数
在
上单调递增;
当时,
,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ),由(1)知
,
又,
,所以
,
∴,即
,
所以.
(Ⅲ)设,
则
则当时,
,函数
单调递减;当
时,
,函数
单调递增.
∴是函数
的极小值点,也是最小值点,
∴.
∴函数与
的图象在
处有公共点
.
设与
存在“分界线”且方程为
,
令函数
①由,得
在
上恒成立,
即在
上恒成立,
∴,即
,
∴,故
.
②下面说明:,即
恒成立.
设,则
∵当时,
,函数
单调递增,
当时,
,函数
单调递减,
∴当时,
取得最大值0,
.
∴成立.
综合①②知,且
,
故函数与
存在“分界线”
,
此时,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为促进义务教育的均衡发展,各地实行免试就近入学政策,某地区随机调查了人,他们年龄的频数分布及赞同“就近入学”人数如表:
年龄 | ||||||
频数 | ||||||
赞同 |
(Ⅰ)在该样本中随机抽取人,求至少
人支持“就近入学”的概率;
(Ⅱ)若对年龄在,
的被调查人中各随机选取
两人进行调查,记选中的
人支持“就近入学”人数为
,求随机变量
的分布列及数学期望。
【题目】有编号为的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:
编号 | ||||||||||
直径 | 1.51 | 1.49 | 1.49 | 1.51 | 1.49 | 1.51 | 1.47 | 1.46 | 1.53 | 1.47 |
其中直径在区间内的零件为一等品.
(1)上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为一等品的概率.
(2)从一等品零件中,随机抽取2个;
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.