题目内容
【题目】已知中心为原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
，且椭圆C的长轴是圆
的一条直径.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆M交于P、Q两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据椭圆的离心率公式
，列方程，再由椭圆长轴是圆的直径，判断
，即可求解；
（2）根据题意，设直线方程
，将直线方程与椭圆方程联立，消元得到关于
的一元二次方程，使判别式
，列出
，由直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，列出方程
，再代入
，化简求解参数值
，再根据直线与圆相交利用几何法求解弦长，并根据判别式，求解参数范围，代入，即可求
取值范围.
（1）设椭圆方程为
，
由已知
，得
，
由椭圆C的长轴是圆
的一条直径，得，则
.
得椭圆方程为.
（2）设
，
联立方程
，得
，
，
设
，
，则，（*）
因为直线OA、AB、OB的斜率成等比数列，得
，将（*）式代入，得
，因为
，则
，得，
由OA、OB的斜率存在，及，得
，得
，且
，
设原点O到直线l的距离为d，则
，
，因为，且，
故
.
【题目】响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.
（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？
（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记
为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望
．
附：
，其中
．
参考数据：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
