Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，当x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；
（1）求f（x）解析式；
（2）关于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0，

∴﹣ =﹣1，f（﹣1）=a﹣b+1=0，

解得a=1，b=2，

∴f（x）=x2+2x+1

（2）解：f（x）=|x+1|﹣k+3，

∴x2+2x+1=|x+1|﹣k+3，

即（x+1）2=|x+1|﹣k+3，

设|x+1|=t，t≥0，

∴t2﹣t+k﹣3=0，

∵x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，

∴关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，

∴△=1﹣4（k﹣3）=0，或

解得k= ，或k＜3，

故有k的取值范围为{k|k= ，或k＜3}

【解析】（1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，（2）设|x+1|=t，t≥0，得到t2﹣t+k﹣3=0，由x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，得到关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．