Question

1．公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₅=15，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$，证明：b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）设出等差数列的首项和公差，由已知得到首项和公差的两个关系式，求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．（2）利用放缩法及列项相消法得证．

解答 解：（1）在等差数列{a_n}中，设其首项为a₁，公差为d，
∵S₅=15，∴${5}_{{a}_{1}}+\frac{5×4}{2}d=15$，①
 又∵a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴${{a}_{4}}^{2}={a}^{2}•{a}^{8}$，即${（a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）$，②
∴由①，②得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∴{a_n}的通项公式为a_n=n．
（2）∵b_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{1×2}+$$\frac{1}{2×3}+$…$\frac{1}{（n-1）n}$
=1$+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$$-\frac{1}{n}$
=$2-\frac{1}{n}$＜2，
∴b_n＜2

点评 本题考查等差数列性质的综合应用及不等式的应用，解题时要注意计算能力的培养．