Question

9．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，E为AC中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁E；
（Ⅱ）求证：平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明AB₁∥平面BC₁E；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．

解答 （Ⅰ）证明：连结CB₁，与BC₁交于点F，连结EF．…（1分）
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以四边形BCC₁B₁是矩形，
点F是B₁C中点．…（3分）
又E为AC中点，所以EF∥AB₁．…（5分）
因为EF?平面BC₁E，AB₁?平面BC₁E，
所以AB₁∥平面BC₁E．…（7分）
（Ⅱ）证明：因为AB=BC，E为AC中点，
所以BE⊥AC．…（9分）
又因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以CC₁⊥底面ABC，从而CC₁⊥BE．…（11分）
所以BE⊥平面ACC₁A₁．…（12分）
因为BE?平面BC₁E，…（13分）
所以平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．…（14分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理是解决本题的关键．