Question

10．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{φ}{2}$）•sin（$\frac{π}{2}$+x+$\frac{φ}{2}$），其中φ为实数（|φ|＜π），若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|，对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＞f（π）．
（1）求φ的值及f（x）的单调区间；
（2）设α为锐角，若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，求f（α+$\frac{11}{24}$π）的值．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=sin（2x+φ），由最值和对称性易得φ=-$\frac{5π}{6}$，进而可得单调区间；
（2）由cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$可得sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，由二倍角公式可得sin（2α+$\frac{π}{3}$）和cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，变形可得f（α+$\frac{11}{24}$π）=sin（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{3}$）代值化简即可．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2sin（x+$\frac{φ}{2}$）•sin（$\frac{π}{2}$+x+$\frac{φ}{2}$）
=2sin（x+$\frac{φ}{2}$）•cos（x+$\frac{φ}{2}$）=sin（2x+φ），
∵f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|，对x∈R恒成立，
∴f（$\frac{π}{6}$）为函数f（x）的最大值或最小值，
∴2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又∵f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），
∴sin（2×$\frac{π}{2}$+φ）＞sin（2π+φ），
∴sinφ＜0，∵|φ|＜π
∴取k=-1，φ=-$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函数的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z），
同理可得函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{2π}{3}$，kπ+$\frac{7π}{6}$]（k∈Z）；
（2）∵α为锐角，cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos²（α+$\frac{π}{6}$）-sin²（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{7}{25}$，
∴f（α+$\frac{11}{24}$π）=sin（2α+$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{6}$）=sin（2α+$\frac{π}{12}$）
=sin（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{24}{25}$-$\frac{7}{25}$）=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的对称性、奇偶性与单调性的综合判断，考查分析、运算能力，属中档题．