题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,且
,
.
(1)若数列是等差数列,且
,求实数
的值;
(2)若数列满足
(
),且
,求证:
是等差数列;
(3)设数列是等比数列,试探究当正实数
满足什么条件时,数列
具有如下性质
:对于任意的
(
),都存在
,使得
,写出你的探究过程,并求出满足条件的正实数
的集合.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)
.
【解析】
(1)根据等差数列由
,
解得
, 则得a.
(2)由,解得
, 由
,且
,
,求得
为奇数时与
为偶数时的
,利用等差数列的定义证得
是等差数列.
(3)由题意, 根据对任意
,都有
,分别讨论当
时和当
时,通过找反例得到数列
不具有性质
又当时,通过
,且
,得到
,证得数列
具有性质
.
(1)设等差数列的公差为
.由
,
得
,
解得. 则得
,所以a=3.
(2)由,得
,
解得, 由
,且
,
,得
当为奇数时,
;
当为偶数时,
.
所以对任意,都有
,当
时,
,
所以数列是以
为首项、
为公差的等差数列.
(3)由题意,
①当时,
,
所以对任意,都有
,
因此数列不具有性质
.
②当时,
,
,
所以对任意,都有
,
因此数列不具有性质
.
③当1<a<2时,
,
,
取(
表示不小于
的最小整数),则
,
.
所以对于任意,
,
即对于任意,
都不在区间
内,
所以数列不具有性质
.
④当时,
,且
,
即对任意的,都有
,
所以当时,数列
具有性质
.
综上,使得数列具有性质
的正实数
的集合为
.
③④的另解:
当时,
单调递增,
单调递增,且
时,
.
若对任意,都存在
,使得
,即存在
在区间
内.
观察,
,…,
发现在内的
只能是
.
证明:在个区间
,
,…,
内需要
个
,
因为,
,所以可选择的
只能是
,共
个.
由,得
.
所以只需满足恒成立,即
,
得对任意
都成立.
因为数列单调递增,且
,所以
.
综上,使得数列具有性质
的正实数
的集合为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某机构为了解某地区中学生在校月消费情况,随机抽取了100名中学生进行调查.右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450),[450,550),[550,650)三个金额段的学生人数成等差数列,将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群” .
(1)求m,n的值,并求这100名学生月消费金额的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关?
高消费群 | 非高消费群 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 50 | |
合计 |
(参考公式:,其中
)
P( | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |