题目内容

如图,四棱锥的底面是直角梯形,,且,顶点在底面内的射影恰好落在的中点.

1)求证:

2)若,求直线所成角的 余弦值;

3)若平面与平面所成的二面角为,求的值.

 

1)详见解析2;(3.

【解析】

试题分析:(1O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz,求出向量,的坐标,代入数量积公式,验证其数量积与0的关系,即可得到结论.
2PO=BC,得h=a,求出向量,的坐标,代入向量夹角公式,即可求出直线PDAB所成的角;
3求出平面APB与平面PCD的法向量,根据平面APB与平面PCD所成的角为60°,构造关于h的方程,解方程即可得到的值.

试题解析:因为中点为点在平面内的射影,所以的平行线交与点,则.

建立如图所示的空间直角坐标系 2

1

,

. 6

2,得,于是

8

直线PDAB所成的角的余弦值为. 10

3设平面PAB的法向量为可得

设平面PCD的法向量为

由题意得

12

14

平面与平面所成的二面角解得

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考点:(1)直线与平面所成的角;(2)异面直线及其所成的角.

 

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