题目内容
如图,四棱锥的底面是直角梯形,,,且,顶点在底面内的射影恰好落在的中点上.
(1)求证:;
(2)若,求直线与所成角的 余弦值;
(3)若平面与平面所成的二面角为,求的值.
(1)详见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz,求出向量,的坐标,代入数量积公式,验证其数量积与0的关系,即可得到结论.
(2)由PO=BC,得h=a,求出向量,的坐标,代入向量夹角公式,即可求出直线PD与AB所成的角;
(3)求出平面APB与平面PCD的法向量,根据平面APB与平面PCD所成的角为60°,构造关于h的方程,解方程即可得到的值.
试题解析:因为中点为点在平面内的射影,所以平面.过作的平行线交与点,则.
建立如图所示的空间直角坐标系 2分
(1)设,,则
,.
∴.
∵, ∴ . 6分
(2)由,得,于是
∵, 8分
∴,
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为. 10分
(3)设平面PAB的法向量为,可得,
设平面PCD的法向量为,
由题意得,
∵∴令,得到, 12分
∴, 14分
∵平面与平面所成的二面角为,∴,解得,
即. 16分
考点:(1)直线与平面所成的角;(2)异面直线及其所成的角.
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