Question

13．已知函数f（x）=e^x，h（x）=k（x+1）
（1）当函数f（x）的图象恒在h（x）的图象上方时，求正实数k的取值范围．
（2）当函数f（x）-h（x）有两个零点x₁，x₂时，证明：x₁+x₂＞0．

Answer 1

分析 （1）作出函数的图象，利用导数的几何意义求出切线斜率，利用数形结合即可得到结论；
（2）先求出x₂-x₁=ln$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$，令t=$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$，求出x₁+x₂=$\frac{lnt}{t-1}$+$\frac{tlnt}{t-1}$-2，问题转化为证明lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，构造函数F（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，通过函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）若函数f（x）图象恒在函数h（x）图象的上方（没有交点），
即f（x）-h（x）＞0恒成立，
即e^x-k（x+1）＞0，
即e^x＞k（x+1），
当k＞0时，g（x）=k（x+1）过定点（-1，0），
函数f（x）的导数为f′（x）=e^x，
设切点为（a，b），则对应的切线斜率k=f′（a）=e^a，
则对应的切线方程为y-e^a=e^a（x-a），
∵直线过点（-1，0），
∴-e^a=e^a（-1-a），
解得a=0，此时切线斜率k=f′（0）=1，
即此时k=1，
则解得0＜k＜1；
（2）设x₂＞x₁，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}=k{（x}_{1}+1）}\\{{e}^{{x}_{2}}=k{（x}_{2}+1）}\end{array}\right.$，
∴x₁=lnk+ln（x₁+1）①，
x₂=lnk+lnx₂+1）②，
②-①得：x₂-x₁=ln$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$③，
令t=$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$，则t＞1，x₂=t（x₁+1）-1，
∴③可化为：t（x₁+1）-1-x₁=lnt，
∴x₁+1=$\frac{lnt}{t-1}$，x₂+1=$\frac{tlnt}{t-1}$，
∴x₁+x₂=$\frac{lnt}{t-1}$+$\frac{tlnt}{t-1}$-2，
要证：x₁+x₂＞0，
只需证：$\frac{lnt}{t-1}$+$\frac{tlnt}{t-1}$＞2，
即证：lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
构造函数F（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
则F′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{2（t+1）-2（t-1）}{{（t+1）}^{2}}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$≥0，
∴F（t）在（1，+∞）递增，
∴F（t）＞F（1）=0，
∴x₁+x₂＞0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，转化思想，（2）中求出x₁+x₂，问题转化为构造新函数通过求导得到单调性是解题的关键，本题有一定的难度．