Question

4．已知函数f（x）=ax²+2|x-1|，a为常数
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最小值（用a表示）

Answer 1

分析 （1）a=1时，求出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+2}&{0≤x≤1}\\{{x}^{2}+2x-2}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，在每一段上对二次函数进行配方即可得出f（x）的范围，这样便可得出f（x）的最小值和最大值；
（2）讨论a=0，a＞0，和a＜0，根据二次函数的最小值的求法：可判断函数的单调性或取顶点值，端点值，这样求出每种情况下f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x²+2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+2}&{0≤x≤1}\\{{x}^{2}+2x-2}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$；
①0≤x≤1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1；
又f（0）=2为函数f（x）在[0，1]上的最大值；
∴1≤f（x）≤2；
②1＜x≤2时，f（x）=x²+2x-2=（x+1）²-3；
f（1）＜f（x）≤f（2）；
即1＜f（x）≤6；
∴f（x）在区间[0，2]上的最大值为6，最小值为1；
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-2x+2}&{0≤x≤1}\\{a{x}^{2}+2x-2}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$；
①若a=0，则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2x+2}&{0≤x≤1}\\{2x-2}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$；
∴0≤f（x）≤2；
∴f（x）的最小值为0；
②若a＞0，Ⅰ）当1≤x≤2时，f（x）的对称轴为$-\frac{1}{a}＜0$；
∴f（x）在（1，2]上单调递增；
∴f（x）的最小值为f（1）=a；
Ⅱ）当0≤x≤1时，f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{a}$；
∴1）若$\frac{1}{a}≥1$，即0＜a≤1，则f（x）在[0，1]上单调递减；
∴f（x）的最小值为f（1）=a；
2）若$0＜\frac{1}{a}＜1$，即a＞1，则f（x）在[0，1]上的最小值为f（$\frac{1}{a}$）=$-\frac{1}{a}+2$；
∵$-\frac{1}{a}+2-a=-\frac{（a-1）^{2}}{a}＜0$；
∴f（x）的最小值为$-\frac{1}{a}+2$；
③若a＜0，Ⅰ）当0≤x≤1时，f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{a}＜0$；
∴f（x）在[0，1]上单调递减；
∴f（x）在[0，1]上的最小值为f（1）=a；
Ⅱ）当1＜x≤2时，f（x）的对称轴为x=$-\frac{1}{a}$；
1）若$0＜-\frac{1}{a}≤1$，即a≤-1时，f（x）在（1，2]上单调递减；
∴f（x）在（1，2]上的最小值为f（2）=4a+2；
∵4a+2-a=3a+2＜0；
∴f（x）的最小值为4a+2；
2）若$1＜-\frac{1}{a}＜2$，即$-1＜a＜-\frac{1}{2}$，f（1）=a，f（2）=4a+2；
4a+2-a=3a+2；
∴-1＜a≤-$\frac{2}{3}$时，f（x）的最小值为4a+2；
$-\frac{2}{3}＜a＜-\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为a；
3）若$-\frac{1}{a}≥2$，即$-\frac{1}{2}≤a＜0$，f（x）在（1，2]上单调递增；
∴f（x）＞f（1）=a；
∴f（x）的最小值为a．

点评 考查函数最值的概念，配方求二次函数最值的方法，根据二次函数的单调性求最值的方法，以及求分段函数最值的方法：在每段里求最值，再对所求最值进行比较．