Question

1．设a＞b＞0，则下列关系式成立的是（　　）

• A． a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$
• B． a^ab^b＜（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$
• C． a^ab^b=（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$
• D． a^ab^b与（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$的大小不能确定

Answer 1

分析 由已知中a＞b＞0，可得$\frac{b}{a}$∈（0，1），$\frac{a-b}{2}$＞0，结合指数函数的单调性及指数的运算性质和不等式的基本性质，可得$（ab）^{\frac{a+b}{2}}$＜a^ab^b．

解答 解：∵a＞b＞0，
∴$\frac{b}{a}$∈（0，1），$\frac{a-b}{2}$＞0
∴$（\frac{b}{a}）^{\frac{a-b}{2}}$＜1，
又由a^ab^b＞0，
故$（\frac{b}{a}）^{\frac{a-b}{2}}$•a^ab^b＜a^ab^b
即${a}^{-\frac{a-b}{2}+a}$•${b}^{\frac{a-b}{2}+b}$=${a}^{\frac{a+b}{2}}•{b}^{\frac{a+b}{2}}$=$（ab）^{\frac{a+b}{2}}$＜a^ab^b，
故选：A

点评 本题考查的知识点是指数函数的单调性及指数的运算性质和不等式的基本性质，是函数与不等式的综合应用，难度中档．