题目内容

5.求下列函数的值城.
(1)y=2x-$\sqrt{x-1}$;
(2)y=$\frac{{x}^{2}-4x+3}{2{x}^{2}-x-1}$.

分析 (1)可令$\sqrt{x-1}=t$,t≥0,从而可得到y=$2(t-\frac{1}{4})^{2}+\frac{15}{8}$,t=$\frac{1}{4}$时,y取到最小值,这样即可写出原函数的值域;
(2)原函数可变成$y=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(2x+1)}=\frac{1}{2}-\frac{7}{2(2x+1)}$,从而可由x≠1,且$\frac{7}{2(2x+1)}≠0$求出y的范围,即求出原函数的值域.

解答 解:(1)令$\sqrt{x-1}=t$,t≥0,则x=t2+1;
∴$y=2({t}^{2}+1)-t=2(t-\frac{1}{4})^{2}+\frac{15}{8}$$≥\frac{15}{8}$;
当t=$\frac{1}{4}$时取“=”;
∴原函数的值域为[$\frac{15}{8}$,+∞);
(2)$y=\frac{{x}^{2}-4x+3}{2{x}^{2}-x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(2x+1)}=\frac{x-3}{2x+1}$=$\frac{\frac{1}{2}(2x+1)-\frac{7}{2}}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{7}{2(2x+1)}$;
∵x≠1,∴$y≠-\frac{2}{3}$;
又$\frac{7}{2(2x+1)}≠0$;
∴$y≠\frac{1}{2}$;
∴原函数的值域为{y|y$≠-\frac{2}{3}$,且y$≠\frac{1}{2}$}.

点评 考查函数值域的概念,以及换元求函数值域的方法,配方法求二次函数的值域,通过化简函数解析式的方法求函数的值域,分离常数法的运用,第二问不要漏了x≠1的限制.

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