题目内容

4.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且$\sqrt{3}$c=asinC-$\sqrt{3}$ccosA.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$,求△ABC周长的最小值.

分析 (1)利用正弦定理把asinC转化为csinA,进而利用两角和公式整理求得A.
(2)根据题意利用正弦定理求得bc的值,列出周长的表达式,利用不等式的性质确定周长的最小值.

解答 解:(1)∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$,
∴asinC=csinA,
∵$\sqrt{3}$c=asinC-$\sqrt{3}$ccosA.
∴$\sqrt{3}$c=csinA-$\sqrt{3}$ccosA,
∴$\sqrt{3}$=sinA-$\sqrt{3}$cosA=2sin(A-60°),
即sin(A-60°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴A-60°=60°,
A=120°.
(2)△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc=$\sqrt{3}$,
∴bc=4,
三角形周长=a+b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$+b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+4}$+b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+4}$+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+8}$≥$\sqrt{2bc+4}$+$\sqrt{2bc+8}$=2$\sqrt{3}$+4,当且仅当b=c=2时,取等号.
即三角形周长的最小值为2$\sqrt{3}$+4.

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对基础知识的灵活运用.

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