题目内容

8.已知两个不共线的向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角为θ,且|$\overrightarrow{a}$|=3,|$\overrightarrow{b}$|=1,x为正实数.
(1)若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$垂直,求tanθ;
(2)若θ=$\frac{π}{6}$,求|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值及对应的x值,并指出向量$\overrightarrow{a}$与x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的位置关系.

分析 (1)由($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$)⊥($\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$),可得($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$)=0.展开可得cosθ=$\frac{1}{6}$,又θ∈(0,π),利用sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$,tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$即可得出.
(2)利用数量积运算性质可得|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{9(x-\frac{\sqrt{3}}{6})^{2}+\frac{1}{4}}$,故当x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时,|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值$\frac{1}{2}$,计算$\overrightarrow{a}$•(x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)即可得出.

解答 解:(1)∵($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$)⊥($\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$),∴($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$)=0.
∴$\overrightarrow{a}$2-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-8$\overrightarrow{b}$2=0,得32-2×3×1×cosθ-8×12=0,
得cosθ=$\frac{1}{6}$,
又θ∈(0,π),故θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
因此,sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{35}}{6}$,
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\sqrt{35}$.
(2)|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{x}^{2}-2x\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}-3\sqrt{3}x+1}$=$\sqrt{9(x-\frac{\sqrt{3}}{6})^{2}+\frac{1}{4}}$,
故当x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时,|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值$\frac{1}{2}$,
此时,$\overrightarrow{a}$•(x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)=x$\overrightarrow{a}$2-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×9-3×1×cos$\frac{π}{6}$=0,
故向量$\overrightarrow{a}$与x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直.

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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