题目内容
18．若x，y＞0，且x+y＞2，求证：$\frac{1+x}{y}，\frac{1+y}{x}$至少有一个小于2．分析 本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．
解答 证明：假设$\frac{1+x}{y}≥2，\frac{1+y}{x}≥2$．即 $\left\{\begin{array}{l}1+x≥2y\\ \\ 1+y≥2x\end{array}\right.$
∴2+x+y≥2x+2y
∴x+y≤2，这与x+y＞2矛盾．
∴假设不成立
∴$\frac{1+x}{y}，\frac{1+y}{x}$至少有一个小于2．
点评 本考点是反证法证明命题，在作证明题时，对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．对于有些题如本题，用反证法证明可以大大降低题目的解决难度．
练习册系列答案
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9．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为（ ）
| A． | 48种 | B． | 16种 | C． | 24种 | D． | 13种 |
3．若函数f（x）=sin（ωx+θ）的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是（ ）
| A． | $ω=1，θ=\frac{π}{3}$ | B． | $ω=1，θ=-\frac{π}{3}$ | C． | $ω=\frac{1}{2}，θ=\frac{π}{6}$ | D． | $ω=\frac{1}{2}，θ=-\frac{π}{6}$ |
10．下列计算错误的是（ ）
| A． | ${∫}_{-π}^{π}sinxdx=0$ | B． | $\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cos2xdx=\frac{1}{2}}$ | ||
| C． | ${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}cosxdx={2∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx$ | D． | ${∫}_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$ |