题目内容
19.已知△ABC中的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3},a=3$,(b-a)(sinB+sinA)=(b-c)sinC.(Ⅰ)求sinB的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
分析 (Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA,结合范围0<A<π,可求A的值,由$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,可求sinC,由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值.
(Ⅱ)在△ABC中,由正弦定理可求c,由三角形面积公式即可得解.
解答 解:(Ⅰ)由正弦定理可得(b-a)(b+a)=(b-c)c,--------(2分)
即b2+c2-a2=bc,由余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$,
又0<A<π,所以$A=\frac{π}{3}$;--------(4分)
因为$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,所以$sinC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.
所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{3+\sqrt{6}}}{6}$.--(6分)
(Ⅱ)在△ABC中,由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,
得$\frac{3}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}$,解得$c=2\sqrt{2}$,--------(9分)
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{2}×\frac{{3+\sqrt{6}}}{6}=\frac{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}{2}$.-----(12分)
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基本知识的考查.
A. | 48种 | B. | 16种 | C. | 24种 | D. | 13种 |
A. | ${∫}_{-π}^{π}sinxdx=0$ | B. | $\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cos2xdx=\frac{1}{2}}$ | ||
C. | ${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}cosxdx={2∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx$ | D. | ${∫}_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$ |
①{2an+1},②$\left\{{a_n^2}\right\}$,③{an+1-an},④{2an+n}.
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
A. | a≤2 | B. | a≤3 | C. | a>3 | D. | a≥3 |
A. | x+1>ex | B. | x+1<ex | C. | x+1≤ex | D. | x+1≥ex |