题目内容
某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）．
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216-x）人．
∴g（x）=
，h（x）=
，
即g（x）=
，h（x）=
（0＜x＜216，x∈N*）．
（2）g（x）-h（x）=
-
=
．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
当0＜x≤86时，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f(x)=
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值．
当0＜x≤86时，f（x）递减，
∴f（x）≥f（86）=
=
．
∴f（x）min=f（86），此时216-x=130．
当87≤x＜216时，f（x）递增，
∴f（x）≥f（87）=
=
．
∴f（x）min=f（87），此时216-x=129．
∴f（x）min=f（86）=f（87）=
．
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129．
∴g（x）=
| 4000 |
| 6x |
| 3000 |
| (216-x)•3 |
即g（x）=
| 2000 |
| 3x |
| 1000 |
| 216-x |
（2）g（x）-h（x）=
| 2000 |
| 3x |
| 1000 |
| 216-x |
| 1000•(432-5x) |
| 3x(216-x) |
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
当0＜x≤86时，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f(x)=
|
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值．
当0＜x≤86时，f（x）递减，
∴f（x）≥f（86）=
| 2000 |
| 3×86 |
| 1000 |
| 129 |
∴f（x）min=f（86），此时216-x=130．
当87≤x＜216时，f（x）递增，
∴f（x）≥f（87）=
| 1000 |
| 216-87 |
| 1000 |
| 129 |
∴f（x）min=f（87），此时216-x=129．
∴f（x）min=f（86）=f（87）=
| 1000 |
| 129 |
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129．
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