题目内容
【题目】如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD,上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足 .
(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证上述采光要求?
(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)
【答案】
(1)解:如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心为H(9,6),
半径r=9.设太阳光线所在直线方程为 ,
即3x+4y﹣4b=0,
则由 ,
解得b=24或 (舍).
故太阳光线所在直线方程为 ,
令x=30,得EG=1.5米<2.5米.
所以此时能保证上述采光要求
(2)解:设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.
方法一:设太阳光线所在直线方程为 ,
即3x+4y﹣4b=0,由 ,
解得b=h+2r或b=h﹣2r(舍)
故太阳光线所在直线方程为 ,
令x=30,得 ,由 ,得h≤25﹣2r
所以 = .
当且仅当r=10时取等号.
所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大
方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长EG恰为2.5米,则此时点G为(30,2.5),
设过点G的上述太阳光线为l1,则l1所在直线方程为y﹣ =﹣ (x﹣30),
即3x+4y﹣100=0
由直线l1与半圆H相切,得 .
而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h﹣100<0,
即 ,从而h=25﹣2r
又 = .
当且仅当r=10时取等号.
所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大
【解析】(1)以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设太阳光线所在直线方程为 ,利用直线与圆相切,求出直线方程,令x=30,得EG=1.5米<2.5米,即可得出结论;(2)方法一:设太阳光线所在直线方程为 ,利用直线与圆相切,求出直线方程,令x=30,得h≤25﹣2r,即可求出截面面积最大; 方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长EG恰为2.5米,即可求出截面面积最大