Question

【题目】若圆上一点A（2，3）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1＝0相交的弦长为2则圆的方程是_____．

Answer 1

【答案】(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.

【解析】

设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y＝0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x﹣y+1＝0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．

设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，

∵点A（2，3）关于直线x+2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，

∴圆心（a，b）在直线x+2y＝0上，

∴a+2b＝0，①

（2﹣a）2+（3﹣b）2＝r2．②

又直线x﹣y+1＝0截圆所得的弦长为2，

圆心（a，b）到直线x﹣y+1＝0的距离为d，

则根据垂径定理得：r2﹣（）2＝（）2③

解由方程①、②、③组成的方程组得：

或

∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2＝52或（x﹣14）2+（y+7）2＝244．

故答案为：(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.