Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）求证：平面PBC⊥平面EFD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）取PA中点G,连接BG,FG,由中位线的性质可得FG∥AD,FG,且BE∥AD,BFAD,则四边形BEFG为平行四边形,进而求证即可；

（2）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC,在由等腰三角形的性质可得DE⊥BC,进而求证即可.

证明：（1）如图,取PA中点G,连接BG,FG,

∵F为PD的中点,∴FG∥AD,且FG,

∵E为BC的中点,∴BE∥AD,且BFAD,

∴FG∥BE,FG＝BE,则四边形BEFG为平行四边形,

∴EF∥BG,

又BG平面PAB,EF平面PAB,

∴EF∥平面PAB

（2）∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC,

∵BD＝CD,E为BC的中点,∴DE⊥BC,

又PDDE＝D,平面PDE,

∴BC⊥平面PDE,

又BC平面PBC,

∴平面PBC⊥平面EFD.