题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数有极值,求实数
的取值范围;
(2)当时,若
在
,
处导数相等,证明:
;
(3)若函数在
上有两个零点
,
,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析
【解析】
(1)对函数求导,根据导函数存在穿过型零点求解;
(2)由得出
,利用基本不等式得出
,然后计算
可得证;
(3)转化为
,通过研究
的单调性、极值得出
的两个零点的范围,不妨设不妨设
,然后分类讨论,若
,则结论成立;
若,即
时,构造新函数
,
,通过导数(需两次求导)得出
的单调性,由
的关系:
.可证得结论,
解:(1)由题意知,
因为有极值,所以当
,
有解,所以
.
(2)证明:,由
,
得,
即,
因为,且
,
所以,得
,
则.
(3)证明:,
即,令
,则
,
则函数在
上单调递减,
在上单调递增,
.
令,其中
,
则,
当时,
,故
,
从而当时有两个零点,
不妨设,
若,则结论成立;
若,即
时,
令,
,
则,
令,则
,
∴在
上单调递增,
则,
∴在
上单调递减,
∴,
即在
上恒成立,
∴,
∵,
,
而在
上单调递增,
∴,即
.
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