题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的短轴长为
，直线
与椭圆
相交于
两点，线段
的中点为
.当与
连线的斜率为
时，直线的倾斜角为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
是以为直径的圆上的任意一点，求证：
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）由短轴长可知
，设
，
，由设而不求法作差即可求得
，将相应值代入即求得
，椭圆方程可求；
（2）考虑特殊位置，即直线
与
轴垂直时候，
成立，当直线斜率存在时，设出直线方程
，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到
与
的关系，将
表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果
解：（1）由已知，得
由
，两式相减，得
根据已知条件有，
当
时，
∴
，即
∴椭圆
的标准方程为
（2）当直线斜率不存在时，
，不等式成立.
当直线斜率存在时，设
由
得
∴
，
∴
由
化简，得
∴
令
，则
当且仅当
时取等号
∴
∵
∴
当且仅当
时取等号
综上，
【题目】已知函数
，g（x）＝x2﹣1．
（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）若h（x）＝f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：x1f（x1）＞x2f（x2）．
【题目】某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题. 该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取
件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品.表 1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图.
表1 甲流水线样本的频数分布表
质量指标值 | 频数 |
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（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了
万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；
（3）根据已知条件完成下面
列联表，并判断在犯错误概率不超过
的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线 | 乙生产线 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附：
（其中
为样本容量）
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【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表：
学时数 |
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男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；
（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．
（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下
列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
