Question

【题目】已知过点A（0，4），且斜率为的直线与圆C：，相交于不同两点M、N.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：为定值；

（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；(2)见解析；（3）不存在.

【解析】

（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，可求得的取值范围.（2）联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理.代入并化简，可证得为定值.（3）先假设存在这样的直线，利用两个向量的数量积为零建立方程并化简成一元二次方程的形式，计算其判别式，可知不存在.

（1）（法一）设直线方程为，即，点C（2，3）到直线的距离为

,解得

（法二）设直线方程为，联立圆C的方程得

,此方程有两个不同的实根

,解得

(2)设直线方程为，联立圆C的方程得

,设M,

则

（3）假设存在满足条件的直线，则有

得，从而得,此方程无实根

所以，不存在以MN为直径的圆过原点。