题目内容
【题目】已知直线
经过椭圆
的右焦点
，交椭圆
于点
，
，点
为椭圆的左焦点，
的周长为
..
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线
与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点
、
，
，求证：直线与直线的交点
在定直线上.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见证明
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆的性质及已知条件求出
，即可得出椭圆
的标准方程。
（Ⅱ）设出直线
和直线
的直线方程，分别代入椭圆的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出
、
，根据 
确定
的值，联立直线和直线的方程得到点P的坐标，从而确定点P在定直线上。
解：（Ⅰ）由已知，得
，
，
，
椭圆的标准方程.
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点
矛盾，所以直线的斜率存在.
令
，
，
，
，
，
.
将直线的方程代入椭圆方程得：
，
，
，
同理，
.
由得
，此时，
，
直线
，
，即点的定直线
上.
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y（单位：万元） | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
.
【题目】某公司需要对所生产的
三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所示：
产品 | A | B | C |
数量（件） | 180 | 270 | 90 |
采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取6件.
（1）求分别抽取三种产品的件数；
（2）将抽取的6件产品按种类
编号，分别记为
，现从这6件产品中随机抽取2件.
（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；
（ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率.
【题目】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），
表示购机的同时购买的维修服务次数.
（1）若=10，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求n的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？
