Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，直线l：x-y+10=0，
（Ⅰ）若M（x，y）为椭圆上的点，求x-y的最大值；
（Ⅱ）P为椭圆上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出P的坐标，代入表达式利用三角函数的最值求解即可．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求出到直线l：y=x+1的距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设P（2cosθ，sinθ），θ∈R，
则x-y=2cosθ-sinθ=$\sqrt{5}$cos（θ+β），其中tanβ=2．
x-y的最大值为：$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）P到直线l：x-y+10=0的距离d=$\frac{\left|2cosθ-sinθ+10\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ+β）+10|}{\sqrt{2}}$，其中tanβ=2
∴P到直线l：x-y+10=0的距离的最大值是$\frac{\sqrt{5}+10}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+10\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式的应用，考查学生的计算能力，是中档题．