题目内容
【题目】已知函数f（x）=（sinx+ 
cosx）2﹣2．
（1）当x∈[0， 
]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[﹣ 
， 
]，求函数g（x）= 
f2（x）﹣f（x+ 
）﹣1的值域．
【答案】
（1）解：函数f（x）=（sinx+ 
cosx）2﹣2．
=[2sin（x+ 
）]2﹣2
=4sin2（x+ ）﹣2
=2[1﹣cos（2x+ 
）]﹣2
=﹣2cos（2x+ ），
∴f（x）=﹣2cos（2x+ ），
可以令2kπ≤2x+ ≤π+2kπ，k∈Z，
∴kπ﹣ ≤x≤ 
+kπ，
∵x∈[0， 
]，
∴函数f（x）的单调递增区间[0， ]．
（2）解：g（x）= 
f2（x）﹣f（x+ 
）﹣1
= ×4cos2（2x+ ）+2cos[2（x+ ）+ ]﹣1
=2cos2（2x+ ）+2cos（2x+ + ）﹣1
=2cos2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）﹣1
=2﹣2sin2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）﹣1
=﹣2sin2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）+1
∴g（x）=﹣2sin2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）+1
令sin（2x+ ）=t，
∵x∈[﹣ ， ]，
∴﹣ ≤2x≤ ，
∴ ≤2x+ ≤ 
，
∴sin（2x+ ）∈[﹣ 
，1]，
∴t∈[﹣ ，1]，
∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣ ，1]，
=﹣2（t+ ）2+1+
=﹣2（t+ ）2+ 
，
∴最大值为 ，最小值为﹣3．
∴值域为[﹣3， ]．
【解析】（1）首先，结合辅助角公式，化简函数解析式，然后，利用降幂公式进行处理即可，然后，结合正弦函数的单调性和周期进行求解；（2）首先，化简函数g（x）的解析式，然后，结合所给角度的范围，换元法进行转化为二次函数的区间最值问题进行求解即可．
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