题目内容
【题目】已知圆,过点作直线交圆于两点,分别过两点作圆的切线,当两条切线相交于点时,则点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】考虑如下问题:已知C:x2+y2=r2(r>0)和点P(a,b).若点P在C内,过P作直线l交C于A. B两点,分别过A. B两点作C的切线,当两条切线相交于点Q时,求点Q的轨迹方程.
圆C:x2+y2=r2的圆心C为(0,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),
因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA.
所以(x1x0)(x10)+(y1y0)(y10)=0,
即x21x0x1+y21y0y1=0,
因为x21+y21=r2,
所以x0x1+y0y1=r2,
同理x0x2+y0y2=r2.
所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=r2.
因直线AB过点(a,b).
所以代入得ax0+by0=r2,
所以点Q的轨迹方程为:ax+by=r2.
结合题意可知,点的轨迹方程为.
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