Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣3）=0，当x＞0时，有f（x）﹣xf′（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
B.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C.（﹣3，0）∪（0，3）
D.（﹣3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设g（x）= ，
则g′（x）= ，
∵当x＞0时，有f（x）﹣xf′（x）＞0成立，
∴当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，即此时g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数且f（﹣3）=0，
∴f（3）=0，且g（x）是偶函数，g（3）=g（﹣3）=0，
当x＞0时，f（x）＞0等价为g（x）＞0，即g（x）＞g（3），得0＜x＜3，
当x＜0时，f（x）＞0等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（﹣3），
此时函数g（x）增函数，得x＜﹣3，
综上不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3），
故选：A．

【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质和基本求导法则的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导才能正确解答此题．