Question

【题目】已知函数（， 为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）求函数的导数 通过和 两种情况分类讨论，分别判断函数的单调性．
（Ⅱ）当 时，化简 通过 在 上为增函数，转化 在 恒成立，推出 在 恒成立，通过构造新函数利用导数求出函数的最值，推出结果即可．

试题解析：（1）函数的定义域为， .

当时， ，∴在上为增函数；

当时，由得，

则当时， ，∴函数在上为减函数，

当时， ，∴函数在上为增函数.

（2）当时， ，

∵在上为增函数；

∴在上恒成立，

即在上恒成立，

令， ，

.

令， 在上恒成立，

即在上为增函数，即，∴，

即在上为增函数，∴，

∴.

所以实数的取值范围是.