题目内容
【题目】已知函数,其中为实数.
(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数的导函数在上有零点,求的取值范围.
【答案】(1)最大值91,最小值;(2)答案见解析;(3)
【解析】
(1)当时,求出,利用导数判断在上的单调性,再确定最大值最小值即可;
(2)求出,判断时两个根的关系,再分类讨论求出的单调区间;
(3)由一元二次函数的性质讨论对称轴在区间内和两侧两种情况,分别求出的范围,再求并集即可.
(1)由题意,当时,,
所以,由,解得,,
,解得,,解得,或,
又,所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在上有极小值即最小值,
,,所以最大值为;
(2)由题意,,
,解得,
①当,即时,恒成立;
②当,即时,
,解得,,解得,或;
③当,即时,
,解得,,解得,或;
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在和上单调递增;
当时,在上单调递减,在和上单调递增;
(3)由(2)知,,
函数的对称轴为,
①当对称轴在区间内时,只需,
而,
所以,即;
②当对称轴在区间两侧时,此时
只需,
,
解得
所以,
综上,
【题目】我们知道,地球上的水资源有限,爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理,节约水资源,计划确定一个家庭年用水量的标准.为此,对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查,获得了个家庭某年的用水量(单位:立方米),统计结果如下表及图所示.
分组 | 频数 | 频率 |
25 | ||
0.19 | ||
50 | ||
0.23 | ||
0.18 | ||
5 |
(1)分别求出,的值;
(2)若以各组区间中点值代表该组的取值,试估计全市家庭年均用水量;
(3)从样本中年用水量在(单位:立方米)的5个家庭中任选3个,作进一步的跟踪研究,求年用水量最多的家庭被选中的概率(5个家庭的年用水量都不相等).
【题目】某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎,但该种水果只能在9月份销售,且该种水果只能当天食用口感最好,隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果,每天计划进货量相同,进货成本每公斤8元,销售价每公斤12元;当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂,但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验,每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度,需求量为5000公斤;如果气温位于,需求量为3500公斤;如果气温低于25度,需求量为2000公斤;为了制定今年9月份订购计划,统计了前三年9月份的气温范围数据,得下面的频数分布表
气温范围 | |||||
天数 | 4 | 14 | 36 | 21 | 15 |
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.
(1)求今年9月份这种水果一天需求量(单位:公斤)的分布列和数学期望;
(2)设9月份一天销售特产水果的利润为(单位:元),当9月份这种水果一天的进货量为(单位:公斤)为多少时,的数学期望达到最大值,最大值为多少?