题目内容
（2013•烟台二模）已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线l交椭圆于A．B两点，若椭圆上存在一点C，使四边形OACB为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△OAC的面积为15
，求这个椭圆的方程．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△OAC的面积为15
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分析：（1）设出直线、椭圆的方程，联立方程，利用韦达定理，结合四边形OACB为平行四边形，确定C的坐标，代入椭圆方程，即可求得离心率；
（2）求出AB，原点到直线l的距离，可得△OAB的面积，利用△OAC的面积为15
，求这个椭圆的方程．
（2）求出AB，原点到直线l的距离，可得△OAB的面积，利用△OAC的面积为15
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解答：解：（1）设椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)，直线l：y=x-c
A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），则
直线方程代入椭圆方程可得（a2+b2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0
∴x1+x2=
，∴x0=
，y0=x0-c=
∵四边形OACB为平行四边形
∴C（
，
）
代入椭圆方程并化简可得4c2=a2+b2
∵b2=a2-c2
∴2a2=5c2
∴e=
；
（2）由题意，S△OAC=S△OAB
∵直线AB过焦点F，∴AB=AF+FB=（a-ex1）+（a-ex1）=2a-e（x1+x2）=2a-e•
①
∵e=
，∴c=
a，b2=
a2
代入①，可得AB=
a
∵原点到直线l的距离d=
=
a
∴△OAB的面积等于
AB•d=
a2
由
a2=15
，可得a=10，∴b2=60
∴椭圆的方程为
+
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），则
直线方程代入椭圆方程可得（a2+b2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0
∴x1+x2=
| 2a2c |
| a2+b2 |
| a2c |
| a2+b2 |
| -b2c |
| a2+b2 |
∵四边形OACB为平行四边形
∴C（
| 2a2c |
| a2+b2 |
| -2b2c |
| a2+b2 |
代入椭圆方程并化简可得4c2=a2+b2
∵b2=a2-c2
∴2a2=5c2
∴e=
| ||
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（2）由题意，S△OAC=S△OAB
∵直线AB过焦点F，∴AB=AF+FB=（a-ex1）+（a-ex1）=2a-e（x1+x2）=2a-e•
| 2a2c |
| a2+b2 |
∵e=
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
代入①，可得AB=
| 3 |
| 2 |
∵原点到直线l的距离d=
| c | ||
|
| ||
| 5 |
∴△OAB的面积等于
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 20 |
由
3
| ||
| 20 |
| 5 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 60 |
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
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