Question

17．已知函数f（x）=2cos²（x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$sin2x+1
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，若f（x）≥log₂t恒成立，求 t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2，由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$，可得$\frac{2π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤$$\frac{4π}{3}$，解得1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2$≤\frac{3}{2}$，求得f（x）${\;}_{max}=\frac{3}{2}$，f（x）_min=1，由题意log₂t≤1，从而解得t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin2x+2=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2，…（3分）
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，得k$π-\frac{2π}{3}$≤x≤k$π-\frac{π}{6}$，k∈Z，…（5分）
∴f（x）的单调递增区间为[k$π-\frac{2π}{3}$，k$π-\frac{π}{6}$]，k∈Z，．…（6分）
（或者：f（x）=$cos（2x-\frac{π}{3}）$-$\sqrt{3}sin2x$+2=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$+2
=-$sin（2x-\frac{π}{6}）$+2，…（3分）
令 $\frac{π}{2}$+2kπ≤$2x-\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z．
则  $\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．…（5分）
∴f（x）的单调递增区间为：[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z．…6分）
（Ⅱ）∵$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$，
∴$\frac{2π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤$$\frac{4π}{3}$，…（7分）
∴-1≤cos（$2x+\frac{π}{3}$）≤-$\frac{1}{2}$，1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2$≤\frac{3}{2}$，…（8分）
（或者：∵$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$，∴$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$…（7分）
∴$\frac{1}{2}$≤$sin（2x-\frac{π}{6}）$≤1∴1≤-$sin（2x-\frac{π}{6}）$+2≤$\frac{3}{2}$…8分）
∴f（x）${\;}_{max}=\frac{3}{2}$，f（x）_min=1．           …（9分）
若f（x）≥log₂t恒成立，∴则log₂t≤1，
∴0＜t≤2，…（11分）
即t的取值范围为（0，2]．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．