题目内容
【题目】已知椭圆
，若在
，
，
，
四个点中有3个在
上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
与点
是椭圆上关于原点对称的两个点，且
，求
的取值范围．
【答案】(1) 
．(2) 
【解析】
（1） 由于椭圆是对称图形，得点
，
必在椭圆上，故
，再分别讨论在
上时和
在上时椭圆的方程，根据题意进行排除，最后求解出结果。
（2） 设
，
，利用向量的坐标运算表达出
的值，根据对称性分类讨论设出直线
的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，将转化为求函数的值域问题，从而求解出的范围。
解：（1）与关于
轴对称，
由题意知在上，当
在
上时，
，
，
，
当在
上时，
，，
∴
与
矛盾，∴椭圆的方程为．
（2）设，，
、
关于坐标原点
对称，
，
，
．
当与轴不垂直时，设直线的方程为
，
代入椭圆方程得
，
，
，
由于
可以取任何实数，故
．
当与轴垂直时，
，
，
∴
．
综上可得．
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