题目内容
【题目】已知椭圆,若在
,
,
,
四个点中有3个在
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点与点
是椭圆
上关于原点对称的两个点,且
,求
的取值范围.
【答案】(1) .(2)
【解析】
(1) 由于椭圆是对称图形,得点,
必在椭圆上,故
,再分别讨论
在
上时和
在
上时椭圆的方程,根据题意进行排除,最后求解出结果。
(2) 设,
,利用向量的坐标运算表达出
的值,根据对称性分类讨论设出直线
的方程,联立椭圆方程,结合韦达定理,将
转化为求函数的值域问题,从而求解出
的范围。
解:(1)与
关于
轴对称,
由题意知在
上,当
在
上时,
,
,
,
当在
上时,
,
,
∴与
矛盾,∴椭圆
的方程为
.
(2)设,
,
、
关于坐标原点
对称,
,
,
.
当与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
代入椭圆方程得
,
,
,
由于可以取任何实数,故
.
当与
轴垂直时,
,
,
∴.
综上可得.
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