题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为的直线
与以原点为圆心,半径为
的圆交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,且
,当
取得最小值时,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
最小值
,直线
的方程为
.
【解析】试题分析:(1)由三角形的面积,即可求得c=2,将点
代入椭圆方程,由椭圆的性质a2=b2+c2,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
(2)直线的方程为
,则原点到直线
的距离
,由弦长公式可得
.将
代入椭圆方程
,得
,得
.可得
.可得所求结论.
试题解析:(1)由的面积可得
,即
,∴
.①
又椭圆过点
,∴
.②
由①②解得,
,故椭圆
的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,则原点到直线
的距离
,
由弦长公式可得.
将代入椭圆方程
,得
,
由判别式,解得
.
由直线和圆相交的条件可得,即
,也即
,
综上可得的取值范围是
.
设,
,则
,
,
由弦长公式,得.
由,得
.
∵,∴
,则当
时,
取得最小值
,此时直线
的方程为
.
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
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练习册系列答案
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观测次数i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
观测数据ai | 5 | 6 | 8 | 6 | 8 | 8 | 8 |
A.1
B.
C.
D.