Question

9．在花园小区内有一块三边长分别为6米、8米、10米的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过2米的概率是（　　）

• A． 1-$\frac{π}{24}$
• B． 1$-\frac{π}{6}$
• C． 1$-\frac{π}{12}$
• D． 2$-\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，记“小狗距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件$\overline{A}$为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件构成的区域面积，由几何概型可得P（$\overline{A}$），进而由对立事件的概率性质，可得答案

解答 解：记“小狗距三角形三个顶点的距离均超过2米”为事件A，则其对立事件$\overline{A}$为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2米”，如图阴影部分，
三边长分别为6米、8米、10米的三角形的面积为S=$\frac{1}{2}×6×8$=24，
则事件$\overline{A}$构成的区域为分别以三角形的三个顶点为圆心半径为2的扇形，恰好可组合成一个半圆，其面积为S（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$=2π，
由几何概型的概率公式得P（$\overline{A}$）=$\frac{2π}{24}=\frac{π}{12}$；
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{π}{12}$．
故选：C．

点评 本题主要考查几何概型，涉及对立事件的概率性质，解题时如需要计算不规则图形的面积，可用间接法．同时考查了分析问题的能力，属于中档题．