Question

若二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1，
∴c=1，∴f（x）=ax²+bx+1
∵f（x+1）-f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

∴

a=1 b=-1

∴f（x）=x²-x+1（5分）
（2）由题意：x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立g(x)=x2-3x+1-m=(x-

3

2

)2-

5

4

-m
其对称轴为x=

3

2

，∴g（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∴g（x）_min=g（1）=1-3+1-m＞0，
∴m＜-1（10分）．