题目内容
【题目】某地拟规划种植一批芍药,为了美观,将种植区域(区域I)设计成半径为1km的扇形,中心角
(
).为方便观赏,增加收入,在种植区域外围规划观赏区(区域II)和休闲区(区域III),并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形
,其中点
,
分别在边
和
上.已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.
(1)要使观赏区的年收入不低于5万元,求的最大值;
(2)试问:当为多少时,年总收入最大?
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由,
,
,所以
与
全等.
可得,根据面积公式,可求得观赏区的面积为
,要使得观赏区的年收入不低于5万元,则要求
,解不等式即可求出结果.
(2)由题意可得种植区的面积为,正方形面积为
,设年总收入为
万元,则
,利用导数在函数单调性中的应用,即可求出结果.
(1)∵,
,
,所以
与
全等.
所以,观赏区的面积为
,要使得观赏区的年收入不低于5万元,则要求
,即
,结合
可知
,则
的最大值为
.
(2)种植区的面积为,
正方形面积为,
设年总收入为万元,则
,
其中,求导可得
.
当时,
,
递增;当
时,
,
递增.
所以当时,
取得最大值,此时年总收入最大.
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