Question

23、如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）、证明AD⊥D₁F；
（2）、求AE与D₁F所成的角．

Answer 1

分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D₁F，可先证AD⊥面DC₁，即可证得；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D₁F平移到A₁G，AB与A₁G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．

解答：解：
（Ⅰ）∵AC₁是正方体，
∴AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F．
（Ⅱ）取AB中点G，连接A₁G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F．
设A₁G与AE相交于点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角，因为E是BB₁的中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90°，即直线AE与D₁F所成角为直角．

点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．