题目内容

【题目】已知函数f(x)= ,直线y= x为曲线y=f(x)的切线(e为自然对数的底数).
(1)求实数a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函数h(x)=g(x)﹣cx2为增函数,求实数c的取值范围.

【答案】
(1)解:函数f(x)= 的导数为f′(x)=

设切点为(m,n),即有n= ,n= m,

可得ame=em,①

由直线y= x为曲线y=f(x)的切线,可得

= ,②

由①②解得m=1,a=1


(2)解:函数g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),

由f(x)= 的导数为f′(x)=

当0<x<2时,f(x)递增,x>2时,f(x)递减.

对x﹣ 在x>0递增,设y=f(x)和y=x﹣ 的交点为(x0,y0),

由f(1)﹣(1﹣1)= >0,f(2)﹣(2﹣ )= <0,即有1<x0<2,

当0<x<x0时,g(x)=x﹣

h(x)=g(x)﹣cx2=x﹣ ﹣cx2,h′(x)=1+ ﹣2cx,

由题意可得h′(x)≥0在0<x<x0时恒成立,

即有2c≤ + ,由y= + 在(0,x0)递减,

可得2c≤ +

当x≥x0时,g(x)=

h(x)=g(x)﹣cx2= ﹣cx2,h′(x)= ﹣2cx,

由题意可得h′(x)≥0在x≥x0时恒成立,

即有2c≤ ,由y= ,可得y′=

可得函数y在(3,+∞)递增;在(x0,3)递减,

即有x=3处取得极小值,且为最小值﹣

可得2c≤﹣ ②,

由①②可得2c≤﹣ ,解得c≤﹣


【解析】(1)求出f(x)的导数,设出切点(m,n),可得切线的斜率,由切线方程可得a,m的方程,解方程可得a=1;(2)y=f(x)和y=x﹣ 的交点为(x0 , y0),分别画出y=f(x)和y=x﹣ 在x>0的图象,可得1<x0<2,再由新定义求得最小值,求得h(x)的解析式,由题意可得h′(x)≥0在0<x<x0时恒成立,运用参数分离和函数的单调性,即可得到所求c的范围.

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