题目内容
如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.
(本小题满分14分)
证明:(1)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥AB.---(1分)
又EF?平面PAB,-----(2分)
AB?平面PAB,------(3分)
∴EF∥平面PAB.-----(4分)
(2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点,
∴PE⊥AC.-----(5分)
∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC.-----(7分)
∴PE⊥BC.-----(8分)
又EF∥AB,∠ABC=90°,∴EF⊥BC,------(10分)
又EF∩PE=E,
∴BC⊥平面PEF.------(12分)
∴平面PEF⊥平面PBC.----(14分)
证明:(1)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥AB.---(1分)
又EF?平面PAB,-----(2分)
AB?平面PAB,------(3分)
∴EF∥平面PAB.-----(4分)
(2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点,
∴PE⊥AC.-----(5分)
∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC.-----(7分)
∴PE⊥BC.-----(8分)
又EF∥AB,∠ABC=90°,∴EF⊥BC,------(10分)
又EF∩PE=E,
∴BC⊥平面PEF.------(12分)
∴平面PEF⊥平面PBC.----(14分)
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